1、是射影定理吧？直角三角形射影定理 　　直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

【资料图】

2、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

3、　　公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：　　（1）（AD）^2=BD·DC，　　（2）（AB）^2=BD·BC ，　　（3）（AC）^2=CD·BC 。

4、　　证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。

5、其余类似可证。

6、直角三角形射影定理 　　直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

7、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

8、　　公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：　　（1）（AD）^2=BD·DC，　　（2）（AB）^2=BD·BC ，　　（3）（AC）^2=CD·BC 。

9、　　证明：在 △BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。

10、其余类似可证。

11、　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：　　设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有　　a＝b·cosC＋c·cosB，　　b＝c·cosA＋a·cosC，　　c＝a·cosB＋b·cosA。

12、　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

13、　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。

14、　　 　　证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可证其余。

15、 下面是意义及例题　射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

16、一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广）­­­­­­，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

17、下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

18、一、射影定理　　射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

19、 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

20、（证明略）二、变式推广　　１．逆用　　如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

21、　　　　（证明略）　　２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

22、（后文简称：射影定理变式（2））　　　如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

23、　　　　　　　（证明略）三、应用例１　如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：　易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

24、（证明略）　　例２　如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

25、　　分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８（图没找到，好在这图简单，自己想象一下吧）　　(解略) 例3　已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，　　　　求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

26、　　　　证明：连ＡＦ，　∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，　　　　　　　∴ＦＡ＝ＦＤ，　∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，　　　　　　∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，　　　　　　∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，　　　　　　∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，　　　　　　∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，　　　　　　∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ ＝ ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

27、例4　　如图（6），已知⊙Ｏ中，ＡＢ 为直径，△ＡＢＣ内接于圆，AE =AC ,连BE 交圆于点F ，求证：∠ACF ＝∠AED 。

28、分析：由条件易知，△ＡＢＣ为直角三角形，ＣＤ为高，由射影定理有AC 2=ＡＤ•ＡＢ，又AE=AC ，故有AE 2=ＡＤ•ＡＢ，满足射影定理变式（2）条件，易得结论成立。

29、例5　已知：如图（7），直线y= x+3交x轴于点Ａ，交y轴于点Ｂ，以点Ｍ（４，０）为圆心，ＭＢ为半径作⊙Ｍ交ＡＢ的延长线于Ｄ，与y轴交于另一点Ｃ　　　（！）求点Ｄ的坐标。

30、　　　（２）连ＡＣ、ＭＤ、ＣＤ，ＣＤ交x轴于Ｅ，求证：△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。

31、　　　（３）若Ｐ为弧ＢＣ上任一点时（图8），ＰＥ的延长线交Ｍ于Q,点，问当点Ｐ在弧ＢＣ（不含端点Ｂ、Ｃ）上运动时，ＡＰ•ＡＱ的值地否改变？试证明你的结论。

32、略解：（１）作ＤＮ⊥x轴于Ｎ，运用割线定理及相似三角形的性质，可得Ｄ的坐标为（ ， ）。

33、　　（2）法1：由△ＣOE∽△DNE，通过计算有EM＝EC，　　　　　　　　　　ＡE＝DE，又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ，　　　　　　　　　　∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。

34、　　　　　　　　　　　　法2：连BM，∵∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ，　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＋∠ＢＤＣ，　　　　　∴∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＣ＋２∠ＢＣＤ，　　　　　　　　　　∵∠ＢＤＣ＝∠ＢＭＥ，　∠ＤＭＢ＝２∠ＢＣＤ，　∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＭＥ，　又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ，ＤＭ＝ＡＣ＝５∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ　　（３）ＡＰ•ＡＱ的值为定值。

35、连MP,∵△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ，∴∠ＣＡＥ＝∠ＭＤＥ，∴△ＡＭＤ∽△ＤＭＥ，∴ＤＭ２＝ＭＥ•ＭＡ，　∵ＭＰ＝ＭＤ，∴ＭＰ２＝ＭＥ•ＭＡ，　∴△ＭＰＥ∽△ＭＡＰ，∴∠ＭＰＥ＝∠ＥＡＰ，　∵ＭＱ＝ＤＭ，　∴ＭＱ２＝ＭＥ•ＭＡ，　∴△ＭＥＱ∽△ＭＱＡ，∴∠ＭＥＱ＝∠ＭＱＡ，　∠ＭＱＥ＝∠ＱＡＭ，∵∠ＭＰＥ＝∠ＭＱＥ，∠ＭＥＱ＝∠ＰＥＡ，∴∠ＥＡＰ＝∠ＱＡＭ，　∠ＰＥＡ＝∠ＭＱＡ，∴△ＡＰＥ∽△ＡＭＱ　，∴ ＝ ，∴ＡＰ•ＡＱ＝ＡＥ•ＡＭ＝ＡＭ２－ＥＭ•ＡＭ＝ＡＭ２－ＤＭ2＝８２－５２＝３９。

36、　　　点评：本例（３）中围绕ＰＭ２＝ＭＱ２＝ＤＭ２＝ＭＥ•ＭＡ，反复运用变式推广２，正面用过来，反面用回去，其运用之妙，体现着数学的变化之美。

37、例6　已知：如图（9），直线y=2x+2交x、y轴于Ａ、Ｃ两点，过Ａ、Ｃ两点作⊙Ｍ，交轴于另一点Ｂ，交轴于另一点Ｄ，且圆心Ｍ在轴上（１） 求点Ｍ的坐标。

38、（２） 以Ａ为圆心，ＡＣ为半径作⊙Ａ（如图10），点Ｐ为⊙Ａ的优弧ＣＤ上任一点，连ＰＯ并延长交Ａ于Ｑ点，求证：∠ＯＢＰ＝∠ＯＢＱ。

39、（３） 当点Ｐ在⊙Ａ的优弧ＣＤ（不含端点Ｃ、Ｄ）上运动时，ＢＰ•ＢＱ的值是否发生改变？试证明你的结论。

40、略解：（１）易求得点Ｍ的坐标为（2/3 ，０）。

41、（解略。

42、）　　　 （２）连ＡＱ、ＡＰ、ＡＣ、ＢＣ，∵∠ＡＣＯ＝∠ＡＢＣ，　∴ＡＣ２＝ＡＯ•ＡＢ，∵ＡＱ＝ＡＣ，　　　∴ＡＱ２＝ＡＯ•ＡＢ，　∴△ＡＯＱ∽△ＡＱＢ，　∴∠ＡＱＯ＝∠ＯＢＱ，∵ＡＰ＝ＡＣ，　　∴ＡＰ２＝ＡＯ•ＡＢ，∴△ＡＯＰ∽△ＡＰＢ，∴∠ＡＰＯ＝∠ＯＢＰ，∵∠ＡＰＯ＝∠ＡＱＯ，　∴∠ＯＢＰ＝∠ＯＢＱ。

43、（３）∵△ＡＯＰ∽△ＡＰＢ，∴∠ＡＯＰ＝∠ＡＰＢ，　　 　∵∠ＡＯＰ＝∠ＱＯＢ，∴∠ＡＰＢ＝∠ＱＯＢ，又∠ＯＢＰ＝∠ＯＢＱ，　　　　　　　∴△ＡＰＢ∽△ＱＯＢ，∴ ＝ ，∴ＢＰ•ＢＱ＝ＡＢ•••••ＢＯ＝５ⅹ４＝２０。

44、 多谢采纳。

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